Produit carré parfait - Corrigé

Énoncé

Soit $m$ et $n$ deux entiers premiers entre eux tels que leur produit $mn$ est un carré parfait. Montrer que $m$ et $n$ sont deux carrés parfaits.

Solution

Par hypothèse, il existe un entier $a\in \mathbb{Z}$ tel que $mn=a^2$ . 
Notons $a=\pm p_1{p}_2...p_k$ la décomposition de $a$ en produit de facteurs premiers.
On a alors :  $mn=(p_1{)}^2(p_2{)}^2...(p_k{)}^2$ .
Ainsi, pour tout $i\in \{1;...;k\}$ , $p_i$ divise $mn$ .

Or $m$ et $n$ sont premiers entre eux, donc $p_i$ divise soit $m$ , soit $n$ (sinon $m$ et $n$ ne seraient pas premiers entre eux, car divisibles par $p_i>1$ ).

Dans l'écriture $mn=(p_1{)}^2(p_2{)}^2...(p_k{)}^2$ , on peut donc séparer le membre de droite en produit de carrés de facteurs premiers divisant $m$ d'une part, divisant $n$ d'autre part.

Par unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers, $m$ et $n$ s'écrivent donc comme produits de carrés de facteurs premiers, donc $m$ et $n$ sont des carrés parfaits.